Säkerhetsreserv i skadeförsäkring

363 NFT 4/1999 Försäkringsbolagen agerar i en bransch vars stokastiska natur medför att bolagets försäkringsrörelse får ett varierande resultat mellan olika år. Vissa år går försäkringsrörel- sen med vinst medan den andra år går med förlust. Detta gäller även om bolaget sköter hela sin verksamhet på ett sunt sätt. Därmed kan man betrakta uppkomna vinster under ett år som, åtminstone delvis, redan intecknade för kommande förluster. Det är därför rimligt att bolaget får sätta av obeskattade vinstme- del i en reserv att användas för att täcka kommande förluster i försäkringsrörelsen. För att förhindra överutnyttjande av reserven är dess storlek samt bolagens möjligheter att disponera avsatta medel begränsade. Skatte- befriade uttag ur reserven får bara ske då försäkringsrörelsen gått med förlust och då bara med ett så stort belopp att resultatet efter uttaget blir noll. Begränsningen av säkerhets- reservens storlek är denna studies huvudämne. Datamaterialet Det datamaterial som används är observatio- ner av skadekvoter under perioden 1972– Säkerhetsreserv i skadeförsäkring Avsättning till säkerhetsreser- ven är ett sätt för försäkringsbo- lagen att, mellan åren, jämna ut resultatet i försäkringsrörelsen. Möjligheten till avsättningar be- gränsas av ett takvärde för sä- kerhetsreserven. Nyligen revide- rade Finansinspektionen den författning (FFFS 1998:23) som reglerar dessa takvärden. Här görs en kortare presentation av den nya modell som därvid an- vänts. Utgångspunkten är en rapport av Ajne och Sandström (1991). I den nya modellen fördjupas dock analysen, främst med avseende på antaganden om fördelningar och beroenden i datamaterialet. Modellens parametrar skattas med hjälp av ett datamaterial bestående av observationer från 1972 till 1996. Artikeln är en sammanfattning av ett examesarbete i försäkringsmatematik utfört vid Stockholms universitet. Arbetet utfördes på uppdrag av Finansinspektionen och finansierades genom bidrag ur Max Matthiessens Jubi- leumsfond. Författarna tackar Björn Palmgren för hans handledning under arbetets gång. av aktuarie Torbjörn Andréason, Skandia och aktuarie Fredrik Johansson, Skandia Torbjörn Andréason Fredrik Johansson 364 1996 uppdelade på försäkringsgrenar enligt Tabell 1. Uppgifterna är grupperade med avseende på skadeår och avser värden utan avdrag för avgiven återförsäkring. Tab.1: Försäkringsgrenar i undersökningen A Gruppsjuk och gruppolycksfall (2 bolag) HH Hem, villa och fritidshus (9 bolag) BH Företag och fastighet (9 bolag) MTP Trafik (5 bolag) MV Motorfordon (8 bolag) T Transport (3 bolag) MSjökasko (3 bolag) Modellen Den övre gränsen, eller takvärdet, för säker- hetsreserven skall bestämmas av den risk- exponering bolaget utsätter sig för. Risk- exponeringen kan för varje enskilt bolag och försäkringsgren mätas genom att betrakta ett antal olika variabler. Vi har valt att betrakta två stycken olika variabler. Dessa är premie- intäkt och avsättning för oreglerade skador, båda för egen räkning. Genom att betrakta premieintäkterna får man en första skattning av riskens storlek. Denna skattning är dock inte alltid tillräcklig. En portfölj med mins- kande premieintäkter får ett minskat utrymme för säkerhetsreserv samtidigt som bolaget kan ha kvar stora oavslutade åtaganden sedan tidigare år då portföljen var större. Dessa återstående åtaganden motiverar också någon form av reserv. Därför betraktas också bola- gets avsättning för oreglerade skador, vilken utgör ett mått på den återstående risken. Den övre gränsen för säkerhetsreservens storlek, per försäkringsgren, bestäms sålunda av RpEpP=+12. där R är säkerhetsreservens storlek, E är avsättning för oreglerade skador och P är premieintäkt. Samtliga avser för egen räk- ning och gäller aktuellt skadeår. Inledningsvis redovisas hur säkerhetsre- servens sammanlagda övre gräns bestäms genom att betrakta hur skadeutfallet varierar från år till år. Därefter beskrivs hur detta totala behov av reserv fördelas som en andel, p1 , av avsättningen för oreglerade skador och en andel, p2 , av premieintäkten. Fördelningsantagande När det totala behovet av säkerhetsreserv skall bestämmas betraktas hur skadekvoterna varierar mellan olika skadeår. Det blir natur- ligt att söka en sannolikhetsfördelning som på ett bra sätt beskriver skadekvoternas varia- tioner. Som vanligt i de här sammanhangen är det svårt att, med hjälp av teoretiska över- väganden, härleda en fördelning som är den som ”i verkligheten” beskriver skadekvoterna. Därmed blir man hänvisad till ett antal fördel- ningar som uppvisar egenskaper man tycker sig se i datamaterialet. Sammanlagt åtta för- delningar har valts ut. Därefter har vi anpassat dessa fördelningar till datamaterialet genom att beräkna ML-skattningarna av dessa för- delningars parametrar. För en ingående redo- görelse angående parameterskattningar och prövning av fördelningsanpassning hänvisas till originalrapporten (Andréason och Johans- son, 1998). Det visar sig att försäkringsgrenarna delar upp sig i två grupper där gruppolycksfall- och gruppsjukförsäkring, företags- och fastighets- försäkring, trafikförsäkring och transport- försäkring bäst beskrivs av gammafördelning- en. Gammafördelningen beskrivs av nedan- stående täthetsfunktion, som ger väntevärde och varians enligt nedan. Täthetsfunktion, väntevärde och varians () () fx xe x = ? ? ? ? ? ?? 1 ? ??????12 2 == Hem-, villa- och fritidshusförsäkring, motor- fordonsförsäkring och sjökaskoförsäkring beskrivs bäst av invers Gauss-fördelningen. Invers Gauss har, liksom gammafördelning- 365 en, även den trevliga egenskapen att fördel- ningen behålls vid faltning. Invers Gauss- fördelningen beskrivs av nedanstående tät- hetsfunktion, som ger väntevärde och varians enligt nedan. Täthetsfunktion () () () fx x x x =? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? µ?? µ ? 2 2 3 1 2 2 exp Väntevärde och varians ? µ ? µ?12== Resultatet av anpassningen visas i Tabell 2. Seriekorrelation Genom att betrakta datamaterialet kan man göra antagandet att positiv seriekorrelation, r , föreligger i skadekvoterna. Att positiv seriekorrelation föreligger medför att ett år med stora förluster ofta följs av ytterligare ett dito. Detta medför att risken underskattas om man endast betraktar ett enskilt år. Avsikten med säkerhetsreserven är att den skall vara avpassad för att täcka förlusterna under två svåra år genom att tömmas helt. Därför bör hänsyn tas till den förekommande seriekorre- lationen. Vi har beräknat seriekorrelationen inom försäkringsgrenarna var och en för sig, resultatet framgår av Tabell 3. Summan av två på varandra följande år Säkerhetsreservens takvärde är avsett att vara så högt att reserven med stor sannolikhet kan täcka förlusterna under två svåra år genom att tömmas helt. Därmed måste fördelningen jus- teras så att den beskriver summan av två på varandra följande år, seriekorrelationen be- aktad. Vi kallar den stokastiska variabel som beskrivs av fördelningen som ovan valdes för Y . Vi är nu intresserade av fördelningen för summan av skadekvoterna under två på var- andra följande år. I fallet med oberoende stokastiska variab- ler har vi att om () X InvGaussi ? µ?, så är () X InvGauss ni i n = ? ? 1 µ?, . Vi har också att om så är () Xni i n ? = ? ? ??, 1 . Försäkringsgren Fördelning Parameter 1 Parameter 2 Väntevärde Standard- avvikelse Gruppsjuk och gruppolycksfall Gamma 48,8 0,0176 0,858 0,123 Hem, villa och fritidshus Invers Gauss 0,766 0,0351 0,766 0,164 Företag och fastighet Gamma 20,0 0,0356 0,711 0,159 Trafik Gamma 26,1 0,0339 0,882 0,173 Motorfordon Invers Gauss 0,785 0,0437 0,785 0,186 Transport Gamma 30,2 0,0242 0,733 0,133 Sjökasko Invers Gauss 1,01 0,178 1,01 0,427 Tabell 2. Vald fördelning för respektive försäkringsgren. Tabell 3. Seriekorrelation för data från perioden 1972–1996. Försäkringsgren Seriekorrelation Gruppsjuk och gruppolycksfall 0,8994 Hem, villa och fritidshus 0,6534 Företag och fastighet 0,5134 Trafik 0,7315 Motorfordon 0,7358 Transport 0,2591 Sjökasko 0,2968 () X i ?? ??, 366 Dock är utfallet under ett antal år på följd inte oberoende. Trots detta har vi justerat para- metrarna för att få en fördelning som approx- imativt beskriver summan av två på varandra följande skador. Kalla denna summa ?Y . Det vi har gjort är att förändra parametrarna så att sambanden () EE Var Var ? = ? =+ YY YrY 2 21 blivit uppfyllda. Genom att jämföra denna fördelning med empriska fördelningen för summan av skadekvoterna under två på var- andra följande år har vi dragit slutsatsen att approximationen fungerar väl. Reservens storlek Taket för säkerhetsreserven, R , skall vara så högt att det är liten sannolikhet att skadeutfal- let överstiger såväl premieintäkterna som sä- kerhetsreserven under något enskilt år. Där- för beräknas ett ensidigt 99 procentigt konfi- densintervall för ?Y . Vi har alltså löst ekvationen () P ? <=Yy099, , det vill säga y är 99-percentilen till den justerade fördelningen. Därefter beräknar vi den sökta reserven enligt () RyYP=??E . Därigenom har vi erhållit de resultat som redovisas i Tabell 4, kolumn RP/ . Nu är beräkningen av övre gränsen för säkerhetsreservens storlek, R , klar och det återstår att bestämma parametrarna p1 och p2 för att dela detta belopp så att det mot- svarar en andel av avsättningen för oreglerade skador och en andel av premieintäkten. Först bestäms hur stor andel av avsättningen för oreglerade skador som det är rimligt att säkerhetsreserven ska få motsvara. Därefter beräknas hur stor andel av premieintäkten detta motsvarar. Sedan tillåts bolagen att av- sätta upp till en så stor andel av premie- intäkten att den övre gränsen för säkerhets- reserven får önskad storlek. Brist på datamaterial har förhindrat en ana- lys som kan ligga till grund för valet av p1 , det vill säga den andel av avsättningen för oreglerade skador som säkerhetsreserven skall få motsvara. I Ajne och Sandström (1991) motiveras dock valet p1 015= , för alla för- säkringsgrenar. Därefter har beräknats hur stor andel av P som 015, E motsvarar. Den totala säkerhetsreserven skrivs RpEpP=+12. Därmed har man att () pRpEP21=? / Resultatet av ovanstående beräkningar re- dovisas i Tabell 4. Datamaterialet har ej med- givit någon meningsfull beräkning av 015,/EP för gruppsjuk- och gruppolycks- fallsförsäkring. Därmed har någon ny skatt- ning av p2 inte kunnat göras för denna gren. Återstående problem Datamaterial utan avdrag för avgiven återförsäkring Som vi tidigare nämnt är de variabler som används som riskmått premieintäkten res- pektive avsättning för oreglerade skador, båda för egen räkning. Att avdrag för återfösäkring gjorts grundar sig på att försäkringsbolagen antas ha ett fullgott återförsäkringsskydd genom egen försorg. I datamaterialet som vi har haft tillgång till har inte gjorts avdrag för återförsäkring. Därmed är det tak för säkerhets- reserven som vi beräknat sannolikt högre än vad det borde vara. För att undersöka denna förmodan vill vi jämföra variansen hos en portfölj före och efter återförsäkring. För att göra denna jäm- förelse har vi använt oss av ett datamaterial från ett nordiskt försäkringsbolag gällande försäkringar inom sjökasko under 1997. Där har vi haft tillgång till samtliga försäkrings- belopp och samtliga skador. Vi har också haft 367 uppgifter om portföljens återförsäkringsskydd samt försäkringsbolagets kostnader för detta. Genom att använda Monte Carlosimulering har vi skattat fördelningen för skadekvoten under ett år, med respektive utan återför- säkring. Vi kom fram till att variations- koefficienten för skadekvoten minskar från 0,94 till 0,50. Ett av problemen med ovanstående analys är att försäkringsbolagets premiekostnad för dess avgivna återförsäkring kan tänkas varie- ra som en följd av tidigare års skadeutfall. Detta kan medföra att den erhållna storleken på förändringen i resultatet inte är uthållig i ett längre perspektiv. Det är också värt att notera att återförsäkring för närvarande är osedvanligt billigt, något som gör att de flesta försäkringsbolag avger mer än vad som an- nars skulle vara fallet. Vid simuleringen har vi antagit oberoende mellan försäkringsbelopp och andelen av detta som gått förlorat. Detta antagande är troligen inte överensstämman- de med verkligheten, utan ger sannolikt en något för skev fördelning. Trots detta anser vi att vårt resultat stöder antagandet om att variationen minskar efter återförsäkring. Försäkringsbolagets totala säkerhetsreserv Inom normalplanen bestäms takvärdet för säkerhetsreserven inom varje försäkringsgren för sig. Ingen hänsyn tas till inom hur många försäkringsgrenar bolaget är verksamt. Om resultatet inom de olika försäkringsgrenarna är beroende av varandra exponeras bolaget för en risk som är skild från summan av riskerna per försäkringsgren. För att undersöka denna eventuella korre- lation har vi beräknat korrelationsmatrisen för skadekvoterna inom de olika försäkrings- grenarna. Det visar sig att en positiv korrela- tion är vanligt förekommande. Se Tabell 5. Genom att betrakta korrelationsmatrisen ser man att varken försäkringsgrenen trans- port eller sjökasko verkar vara starkt korrele- rad till de övriga försäkringsgrenarna. Övriga försäkringsgrenar verkar vara positivt korre- lerade till varandra. Detta innebär att ett bolag som bedriver verksamhet inom ett flertal för- säkringsgrenar exponerar sig för en större total risk än vad modellen för normalplanen tar hänsyn till. Slutsatsen blir att det kan vara motiverat att införa ett högre tak för säker- hetsreserven för hela bolaget än vad summan Försäkringsgren 0,15E som p 2 Summa R/P andel av P Gruppsjuk och gruppolycksfall - 0,10 - 0,58 Hem, villa och fritidshus 0,07 0,80 0,87 0,87 Företag och fastighet 0,24 0,50 0,74 0,72 Trafik 0,71 0,15 0,86 0,83 Motorfordon 0,04 1,00 1,04 1,04 Transport 0,10 0,45 0,55 0,54 Sjökasko 0,34 1,75 2,09 2,09 Tabell 4. Normalplanens övre gränser för säkerhetsreserven, andelar av P. A BH HH MV MTP T M A 1 0,29 0,17 0,45 0,76 -0,29 -0,04 BH 1 0,81 0,82 0,51 0,15 -0,02 HH 1 0,83 0,40 0,19 -0,16 MV 1 0,72 0,23 -0,06 MTP 1 0,06 -0,08 T 1 -0,03 M1 Tabell 5. Korrelationsmatris för skade- kvoternas variation per försäkringsgren 368 av taken för respektive försäkringsgren ang- er. En fördjupad analys av dessa samband krävs för att implementera dem i modellen för säkerhetsreserven. Avslutning Försäkringsbranschen är av en speciell ka- raktär. Detta beror på att försäkringsbolaget vid prissättningstillfället inte vet hur stora skador kunden kommer att drabbas av. Där- för varierar försäkringsrörelsens resultat kraf- tigt som en följd av det stokastiska skade- utfallet. Försäkringsbolaget har inga möjlig- heter att ta ut en så stor premie att det säkert får ett positivt resultat i försäkringsrörelsen. Därigenom vet man att försäkringsbolagen under enstaka år kommer att göra förlust i försäkringsrörelsen. Detta motiverar att för- säkringsbolaget, för att garantera sin solidi- tet, skall ha möjlighet att sätta av skattebefri- ade reserver för kommande års förluster. Ur skattesynpunkt är det dock viktigt att av- dragsrätten begränsas till en rimlig nivå. Där- för är det viktigt att sakliga grunder och robusta metoder används för att sätta takvär- det för säkerhetsreserven så att det hamnar på en rättvisande nivå. Denna nivå skall spegla försäkringsrörelsens verkliga riskexponering. Härvid måste förutsättas att försäkringsbo- lagen sköter sin övriga riskhantering på ett sunt sätt. Den viktigaste variabeln i studien är skade- kvoten. Huruvida skadekvoten är det optima- la valet av variabel är inte självklart. Premie- intäkten speglar inte bara riskexponeringen utan även ett antal andra variabler som till exempel konjunkturläge, konkurrenssituatio- nen och resultatet av marknadsföringsåtgär- der. Man kan tänka sig ett antal alternativa riskmått som till exempel antal kontrakt. Dock är inte heller antalet kontrakt ett entydigt riskmått då kontraktens riskprofil påverkar hur stor riskexponering försäkringsbolaget utsätts för. Ett annat alternativt riskmått kan vara antal skador. Även här kan en liknande kritik formuleras. Brist på tid och datamaterial har förhindrat oss att pröva alternativa risk- mått. Man skulle kunna tänka sig att en bättre modell skulle innehålla en kombination av flera olika riskmått. För att kraven på att säkerhetsreserven skall spegla försäkringsrörelsens verkliga riskex- ponering skall vara uppfyllda är det av vikt att man vid beräkning av takvärdet tar hänsyn till avgiven återförsäkring. Eftersom datamate- rialet inte innefattar inkomster och utgifter från avgiven återförsäkring speglar inte tak- värdet för säkerhetsreserven nettoriskexpo- neringen. Vi har i den presenterade modellen gått igenom antaganden och datamaterial. Vi an- ser att vi härvid använt den största delen av informationen i det tillgängliga datamateria- let. Vår bedömning är att man med hjälp av ytterligare förändringar i modellen troligen inte kan nå några signifikanta förbättringar. Vidare förändringar bör grunda sig på ett annorlunda datamaterial. Härvid måste en avvägning ske mellan å ena sidan de kostna- der ett utökat datainsamlande och behandling av detta datamaterial för med sig och å andra sidan de vinster man kan göra i form av bättre precision i skattningarna. Referenser Ajne, Björn och Arne Sandström (1991): ”New Standard Regulations Regarding Alloca- tion of the Safety Reserve in Sweden”, The XXIII A.S.T.I.N. Colloquium, Stockholm, s. 3–28 Andréason, Torbjörn och Fredrik Johansson (1998): ”Säkerhetsreserv i skadeförsäk- ring”, Rapport nr B:46, Institutet för för- säkringsmatematik och matematisk statis- tik, Stockholms universitet