Skadeprosenten – hvor tilfeldig er den?

112 NFT 2/1996 Skadeprosenten – hvor tilfeldig er den? av cand.scient. Jon Holtan, aktuar i UNI Storebrand AS Artikkelen analyserer skadeprosentens tilfeldige va- riasjon innenfor en vilkårlig skadeforsikringsportefølje. Det legges særlig vekt på metodisk enkelhet slik at analyseresultatene både er enkle å forstå og praktiske å forholde seg til - også for ikke-aktuarer. Følgende sen- trale spørsmål blir belyst: I hvilken grad kan avviket mellom en faktisk observert skadeprosent og en mål- satt/budsjettert skadeprosent forklares av statistisk til- feldighet? Artikkelen presenterer herunder en konkret sammenheng mellom den tilfeldige variasjonen og seks velkjente beregningsfaktorer. Praktiske anvendelser blir illustrert via konkrete eksempler. linger. I det følgende skal vi presentere en enkel matematisk metode for å avklare hvilke generelle faktorer som i hovedsak påvirker den tilfeldige variasjonen til en skadeprosent, og herunder avklare hvor mye hver av disse faktorene betyr i denne sammenheng. Artik- kelen legger særlig vekt på metodisk enkelhet slik at analyseresultatene er lett forståelige – og dermed også bevisstgjørende – for de fleste i forsikringsnæringen. På denne bak- grunn bør resultatene på ingen måte tolkes som eksakte sannheter, men kun som result- atmessige indikasjoner. Analytisk presisjon er med andre ord ofret på forenklingens alter. Det understrekes at med begrepet skadepro- sent menes brutto skadeprosent gjennom hele artikkelen. 1. Introduksjon En klassisk problemstilling innenfor et ska- deforsikringsselskap knytter seg til evalue- ringen av en påløpt skadeprosent. Mer presist dreier problemstillingen seg om i hvilken grad avviket mellom en påløpt skadeprosent og en målsatt/budsjettert skadeprosent er til- feldig, og herunder hvorvidt avviket f.eks. gir grunnlag for premie- og/eller vilkårsendrin- ger. Det synes klart at det er erstatningssidens tilfeldige variasjon som genererer hele pro- blemstillingen. I de fleste forsikringsselskap er det derfor skadeaktuarene som har ansvaret for å formidle/kommunisere omfanget av denne variasjonen, og da i særdeleshet over- for selskapenes økonomi- og markedsavde- Jon Holtan 113 2. Risikomodell Variansen og standardavviket til en skade- prosent er de generelle størrelsene som fortel- ler noe om skadeprosentens tilfeldige varia- sjon. For å løse vår innledningsvis skisserte problemstilling, er det derfor i første omgang behov for å finne matematiske uttrykk for disse størrelsene. Anta på denne bakgrunn følgende risikomodell: Vi betrakter en portefølje med k forsik- ringstakere. Porteføljen observeres fra tids- punkt 0 til tidspunkt t, dvs. i tiden (0, t). Fordi vi i denne sammenheng kun er interessert i å analysere den tilfeldige variasjonen som er knyttet til porteføljens skadeprosent, og ikke i å analysere de risikomessige forskjellene mellom porteføljens ulike forsikringstakere, kan vi anvende en gjennomsnittsbetraktning der alle forsikringstakere i porteføljen antas å være risikohomogene; dvs. at alle forsikrings- takere antas å ha like store sannsynligheter for skadeinntreffelse og like store sannsyn- ligheter for ulike skadebeløpsstørrelser gitt skadeinntreffelse. Mer spesifikt antar vi føl- gende standardmodell: Alle skadeinntreffelser antas å være innbyr- des uavhengige og Poissonfordelt med tids- messig konstant inntreffelsessannsynlighet ?. De enkeltvise erstatningsbeløpene antas å være innbyrdes uavhengige og identisk sann- synlighetsfordelte med forventning µ og va- rians ?2, samt uavhengige av sannsynlighe- ten for skadeinntreffelse. 3. Forventning, varians og standardavvik La X(t) og P(t) betegne henholdsvis den aktu- elle porteføljens totalt inntrufne erstatnings- beløp og totalt opptjente premie i løpet av tiden (0, t). La S(t) være porteføljens skade- prosent for perioden (0, t ). Herav har vi at: S(t) = X(t)/P(t). Under modellantagelsene i foregående av- snitt vil X(t) være en såkalt sammensatt Pois- sonprosess med forventning EX(t) = k?tµ og varians Var X(t) = k?t (µ2 + ? 2). Anta videre at P(t) = kpt, der p = porteføl- jens gjennomsnittspremie pr. forsikringsta- ker. Dette er en rimelig antagelse både på bakgrunn av modellantagelsene og fordi pre- mien alltid tjenes opp proporsjonalt med ti- den t. Herav finner vi følgende uttrykk for skade- prosentens forventning, varians og standard- avvik: Med vanlige ord har vi grovt sagt at: Forventningen til skadeprosenten = Gjennomsnittserstatning Skadefrekvens Gjennomsnittspremie Variansen til skadeprosenten = Skadefrekvens (Gjennomsnittserstatning2 + Variansen till erstatningsbelopene) Gjennomsnittspremie2 Portefoljestorrelse Periodelengde Standardavviket til skadeprosenten = Kvadratroten av variansen til skadeprosenten Vi ser at variansen og standardavviket til skadeprosenten øker med økende skadefrek- vens, gjennomsnittserstatning og erstat- ningsbeløpenes varians. Derimot vil en øk- ning i gjennomsnittspremien, porteføljestør- relsen og observert periodelengde gi motsatt effekt. 4. Konfidensintervall Som tidligere nevnt er standardavviket til skadeprosenten et mål for størrelsen på ska- deprosentens tilfeldige variasjon. Isolert sett er imidlertid informasjonsverdien til denne 114 målstørrelsen av relativt begrenset verdi. Ska- deprosentens konfidensintervall er derimot et mer informativt mål for den tilfeldige vari- asjonen. Et konfidensintervall krever imidlertid an- tagelser om skadeprosentens sannsynlighets- fordeling. Siden skadeprosenten S(t) er en direkte funksjon av det stokastiske erstat- ningsbeløpet X(t) og av premiekonstanten P(t), medfører dette igjen at sannsynlighets- fordelingen til S(t) i sin helhet er styrt av sannsynlighetsfordelingen til X(t). En svært enkel antagelse når det gjelder sannsynlig- hetsfordelingen til X(t) knytter seg til normal- fordelingsapproksima- sjonen innenfor det statistiske sentralgrenseteoremet; eller mer presist: Hvis mange nok skader inntreffer for den observerte porteføljen i løpet av tiden (0, t), kan man på bakgrunn av modellantagelse- ne i avsnitt 2 anta at sannsynlighetsfordelin- gen til summen av enkelterstatningsbeløpene er tilnærmet normalfordelt uansett hvilken sannsynlighetsfordeling de enkelte erstat- ningsbeløpene følger. Siden porteføljens to- tale erstatningsbeløp X(t) altså antas som til- nærmet normalfordelt og skadeprosenten S(t) bare er en funksjon av X(t) og av premiekons- tanten P(t), medfører dette igjen at også S(t) kan antas som tilnærmet normalfordelt med forventning ES(t) = µ?/p og varians Var S(t) = (?/p2kt) (µ2 + ?2). Presisjonen til normalfordelingsapproksi- masjonen synker ikke bare når antall skader synker, men synker også jo mer skjevfordelt (langhalet) enkelterstatningsfordelingen er – noe som er ganske vanlig innenfor skadefor- sikring. For å unngå denne modellsvakheten kunne vi ha gjort mer realistiske antagelser om totalerstatningsfordelingen. Den såkalte NP-approksimasjonen (NP = Normal Power) tar f.eks. spesielt hensyn til denne skjevheten, og regnes herunder som en praktisk god ap- proksimasjon til totalerstatningsfordelingen. Videre kunne vi ha antatt konkrete skjevfor- delte enkelterstatningsfordelinger for de uli- ke skadeproduktene, f.eks. at erstatningsbe- løpene fulgte ulike lognormal- eller gamma- fordelinger. Antagelser av denne kategori er vanlige innenfor aktuariell modellbygging. I forhold til denne artikkelens allmenne målsetning, ville imidlertid slike antagelser virket kom- pliserende, og vi ville tapt mye av analysens tilsiktede enkelhet. Bare vi er klar over denne grove modellforenklingen, og herunder hvor- dan den gjør seg utslag i øket resultatusikker- het, bør vi i denne sammenheng likevel kunne anta at S(t) er tilnærmet normalfordelt. Anta nå at den underliggende forventede skadeprosenten ES(t) er ukjent. På bakgrunn av foranstående forutsetninger kan konfiden- sintervallet til den ukjente forventede skade- prosenten utledes som følger: Vi har generelt at den standardiserte varia- belen S(t) - ES(t) Std S(t) er tilnærmet standard normalfordelt med for- ventning 0 og varians 1. Siden vi herav har at Pr[S(t)-z ?/2 Std S(t) S(t) + z0.05 Std S(t) . Med andre ord: blir ikke forkastet såfremt m(t) ligger innenfor 90 %-konfidensinterval- let rundt den observerte skadeprosenten. El- ler mer praktisk forståelig i forhold til vår skisserte problemstilling: Det finnes ikke noe statistisk signifikant grunnlag for å foreta særskilte premie- og/eller vilkårsendringer basert på den observerte skadeprosenten så- fremt den skadeprosenten man styrer mot ligger innenfor konfidensintervallet til den observerte skadeprosenten. Hvis den ønske- de skadeprosenten derimot ligger utenfor dette konfidensintervallet, foreligger det et statis- tisk signifikant grunnlag for å foreta premie- og/eller vilkårsendringer. Oppsummert kan vi si at siden vår problem- stilling (dvs. i hvilken grad avviket mellom observert og målsatt/budsjettert skadeprosent er tilfeldig) vanskelig kan ha et ja/nei-svar, må svaret istedet basere seg på sannsynlighet- sutsagn. Et konfidensintervall representerer nettopp et slikt utsagn. 116 -15 -10 -5 0 5 10 15 25000 50000 100000 200000 300000 500000 750000 1 million 1/2 år 1/2 år 2 år 2 år 6. Praktiske eksempler De matematiske uttrykkene for skadeprosen- tens standardavvik (avsnitt 3) og skadepros- entens konfidensintervall (avsnitt 4) gjelder generelt for alle typer skadeforsikringsporte- føljer. Praktisk anvendelse av uttrykkene kre- ver imidlertid verdifastsettelse av de ulike parameterne. Fire av parameterne kan kalles karakteristiske idet de karakteriserer den en- kelte portefølje. Dette gjelder skadefrekvens, gjennomsnittserstatning, gjennomsnittspre- mie og erstatningsbeløpenes varians. Disse størrelsene er velkjente, og det er lett å fastset- te deres parameterverdier basert på statistiske erfaringer. La oss på denne bakgrunn studere f.eks. personbilforsikring. Etter å ha fastsatt kon- krete verdier for de fire nevnte parameterne, viser figur 1 skadeprosentens 90 %-konfidens- intervall som funksjon av de to øvrige para- meterne observasjonstid og porteføljestørrel- se. Merk at konfidensintervallet baserer seg på parameterverdier som gjelder for det nor- ske forsikringsmarkedet. Figur 1 viser at bredden på konfidensinter- vallet er synkende med økende portefølje- størrelse og med økende observasjonstid, og omvendt. Dette gjelder generelt for alle ska- deforsikringsporteføljer, jfr. uttrykket for stan- dardavviket i avsnitt 3. Eksempelvis ser vi at med en observasjonstid på 1/2 år og med en porteføljestørrelse på 200 000 forsikringer, er 90 %-konfidensintervallet rundt den obser- verte skadeprosenten på omtrent +/- 4 %- poeng. Det betyr at hvis den målsatte/budsjet- terte skadeprosenten ligger utenfor +/- 4 %- poeng fra den observerte skadeprosenten, kan vi med 90 % sannsynlighet si at avviket ikke skyldes ren tilfeldighet. Tilsvarende kan vi studere spesifiserte del- porteføljer (som er karakterisert av andre ka- rakteristiske parametere) innenfor personbil- forsikring, og dessuten andre typer forsikrings- produkter. Det er bare fantasien som setter grenser for hvordan vi kan presentere ulike analyser av skadeprosentens konfidensinter- vall. Tredimensjonal grafikk – som bl.a. er tilgjengelig innenfor programvaresystemet Mathematica – egner seg ypperlig til slike formål. Vi skal i denne sammenheng begrense oss til å studere hvordan personbilforsikring opp- trer i forhold til hus/hjem-forsikring: Anta at vi forutsetter at skadeprosentens konfiden- sintervall skal være lik +/- 5 %-poeng. Hvor- dan vil denne forutsetningen gi seg utslag i krav om observasjonstid og porteføljestørrel- ser? Figur 2 viser hvordan! 90 % konfidensintervall Figur 1: Skadeprosentens konfidensintervall for personbilforsikring som funksjon av observasjonstid og porteføljestørrelse Porteføljestørrelse 117 0 200 400 600 800 1 000 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 Personbil Hus/hjem Figur 2: Porteføljestørrelse vs. observasjonstid under forutsetning om et konfidensinterval på +/- 10 % Figur 2 viser – ikke overraskende – at kravet til observasjonstid er omvendt proporsjonalt med kravet til porteføljestørrelse: Jo lengre observasjonstid, jo lavere krav til portefølje- størrelse for å oppnå et konfidensintervall på +/- 5 %-poeng, og omvendt. Dernest ser vi at hus/hjem-forsikring krever både større forsi- kringsportefølje og tildels lengre obser- vasjonstid for å oppnå samme tilfeldige va- riasjon i skadeprosent som personbilfors- ikring. Eller sagt på en annen måte: Person- bilforsikring representerer et mindre risiko- fylt forretningsområde enn hus/hjem-fors- ikring gitt like store porteføljestørrelser. Merk at dette resultatet gjelder særskilt for det nor- ske forsikringsmarkedet. Andre sammenset- ninger av karakteristiske parameterverdier kan åpenbart gi andre resultater for det svens- ke og danske markedet. Nettopp i sammensetningen av parameter- verdiene finner vi årsaken til risikoforskjel- len mellom personbil og hus/hjem som eksis- terer innenfor det norske markedet. Ved å studere hvordan parameterverdiene for hver av produktene påvirker standardavviket i av- snitt 3, finner vi at den lave risikoen til per- sonbilforsikring i hovedsak er forårsaket av en kombinasjon av høyere gjennomsnittspre- mie og lavere variasjon i enkelterstatningsbe- løpene i forhold til hus/hjem-forsikring. Generelt kan det antydes – kanskje noe overraskende – at skadeforsikringsprodukter med høy skadefrekvens er mindre risikofylte enn de med lav skadefrekvens. Dette fordi høy skadefrekvens ofte er kombinert med relativt høy gjennomsnittspremie og begren- set variasjon i erstatningsbeløpene, noe som gir et forholdsvis begrenset standardavvik for skadeprosenten. Produkter med lav skadefre- kvens preges derimot ofte av motsatte verdier for gjennomsnittspremie og beløpsvariasjon, noe som genererer høyere standardavvik. 7. Avsluttende kommentarer I et skadeforsikringsselskap er det mange mennesker som har til oppgave å vurdere eller mene noe om påløpne skadeprosenter, enten det gjelder totalt sett for et produkt eller det gjelder en delportefølje av et produkt. I denne sammenheng er det helt nødvendig å ha en kvalifisert oppfatning av skadeprosen- tens tilfeldige variasjon, og herunder hvordan denne variasjonen varierer mellom de ulike forsikringsproduktene. Eller sagt på en annen måte: Å ha kontroll over den tilfeldige porte- føljevariasjonen er minst like viktig innenfor en skadeforsikringportefølje som innenfor en Observasjonstid (år) Porteføljestørrelse (tusener) 118 kapitalforvaltningsportefølje. I denne artik- kelen fremsettes en enkel sammenheng som antyder hvordan seks velkjente beregnings- faktorer påvirker den tilfeldige variasjonen til skadeprosenten. Generelt har vi at: Alt annet likt vil den tilfeldige variasjonen øke med økende skadefrekvens, gjennom- snittserstatning og variansen til de enkelte erstatningsbeløpene. Alt annet likt vil den tilfeldige variasjonen synke med økende gjennomsnittspremie, porteføljestørrelse og observert periodel- engde. En velkjent og åpenbar konsekvens av denne sammenhengen er at jo større markedsandel et forsikringsselskap har innenfor et forret- ningssegment, desto lavere tilfeldig varias- jon er knyttet til selskapets virksomhet innen- for dette segmentet. Store selskaper bruker derfor en mindre andel av forsikringspremien til å dekke den tilfeldige variasjonen (risiko- fluktuasjonen) i forhold til sine mindre kon- kurrenter. Gitt samme krav til fluktuasjons- sikkerhet, har derfor store selskaper en pro- fittfordel i forhold til mindre selskaper ved at de i prinsippet kan: systematisk sørge for relativt større over- skudd ved å forsikre riskene til samme priser som sine mindre konkurrenter, eller systematisk øke sine markedsandeler yt- terligere ved å forsikre riskene til lavere priser enn sine mindre konkurrenter. Denne automatiske profittfordelen er en av flere årsaker til at det er så vanskelig for mindre selskaper å øke sine markedsandeler på bekostning av større selskaper uten bety- delig fri egenkapital i ryggen.